Recta numérica
La recta numérica, inventada por John Wallis, es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados espaciados uniformemente. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando "ilimitadamente" en cada dirección. Frecuente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en azul.
INTERVALO
En análisis, se denomina intervalo a todo subconjunto conexo de la recta real. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad:
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si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I.
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Para representar intervalos, usan habitualmente dos notaciones, por ejemplo, para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b se puede representar [a; b) o bien [a; b] . La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en Francia y en la francofonía. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b no.
Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos lo puntos intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un intervalo:[-2,2]entre este espacio se encuentran los números (-2-1,0,1,2) aquí se encuentra un intervalo.....ya que el espacio abarca una serie de números consecutivos que se corresponden entre sí.
También existe una regla memotécnica para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y [1, 2) el número no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio.
CLASIFICACION
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados y semi abiertos) o según sus características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita).
Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:
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Notación
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Intervalo
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Longitud (l)
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Descripción
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[A,B]
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A≤x≤B
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B-A
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Intervalo cerrado de longitud finita.
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[a,b[ ó[a,b)
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a≤x<b
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b-a
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Intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto).
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]a,b] ó (a,b]
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A<x≤b
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b-a
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intervalo abierto en a, cerrado en b.
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]a,b[ ó (a,b)
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A<x<b
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b-a
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intervalo abierto.
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]-∞,b[ ó (-∞,b)
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x<b
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∞
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Intervalo (semi) abierto.
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]-∞,b] ó 8-∞,b]
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x≤b
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∞
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Intervalo (semi) cerrado.
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[a, ∞[ ó [a, ∞)
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X ≥ a
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∞
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Intervalo (semi) cerrado.
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]a, ∞[ ó (a, ∞)
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x>a
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∞
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Intervalo (semi) abierto.
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]∞,+∞[ ó (∞,+∞)
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x€R
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∞
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Intervalo a la vez abierto y cerrado.
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{a}
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x=a
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0
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intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario.
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{}=0
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x no existe
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Sin longitud
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conjunto vacío.
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Un intervalo abierto o cerrado (pero no semiabierto) de longitud finita se puede también definir a partir de su centro y de su radio:
Si I = ]a, b[, su centro es c = (a + b)/2, y su radio es r = (b - a)/2. a < x < b equivale a |x - c| < r; y se interpreta como la distancia entre x y c es menor que r; se nota x ε B (c, r); B para bola abierta, término que se generaliza a cualquier espacio métrico.
De la misma manera, I = [a, b] corresponde a la condición |x - c| ≤ r. En tal caso se habla de bola cerrada. Se nota este conjunto:
_
B (c, r) = { x ε R, |x - c| ≤ r }. Es la clausura topológica de la bola abierta B (c, r) = { x ε R, |x - c| < r }.
Cuando dos variables - pongamos x e y - toman sus valores en sendos intervalos I e J, es legítimo preguntarse en que intervalo varían su suma, su diferencia, su producto y su cociente. Contestar a esta pregunto permitirá definir las cuatro operaciones sobre los intervalos.
Tomemos I = [a, b] y J = [c, d]. Entonces a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.
podemos sumar las inegualdades: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que I + J = [ a + c , b + d ].
Para la diferencia, hay que mirar primero - y : - d ≤ - y ≤ - c, y luego se puede sumar las inegualdades: a - d ≤ x - y ≤ b - c. De ahí obtenemos I - J = [ a - d, b - c ].
Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, el producto y el cociente son también sencillos: I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].
Generalización
Un entorno o vecindad de centro a y radio δ es un conjunto de puntos cuya distancia a a es menor de δ. O sea:
En particular si
se denomina entorno reducido (E`).
el cual no es un intervalo pues es un conjunto disconexo
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