Función creciente y/o decreciente.
Creciente en xo si para x > xo F(x) ≥ F(xo) ► F ' (xo) ≥ 0
ya que:
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F(x) - F(xo)
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| F'(xo) = |
Lim |
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≥ 0 |
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x → xo |
x - xo
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Una función F(x) se dice que es Creciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es positiva; F '(xo) ≥ 0. En la gráfica se puede ver que esto ocurre desde -∞ hasta a y desde b hasta +∞. En esos intervalos la derivada (pendiente) está por encima del ejes X (es positiva).
Decreciente en xo si para x > xo F(x) ≤ F(xo) ► F ' (xo) ≤ 0
Una función F(x) se dice que es Decreciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es negativa; F '(xo) ≤ 0. En la gráfica se observa que esto ocurre para valores de x comprendidos entre a y b. En este intervalo la derivada está por debajo del eje X (es negativa).
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F(x) - F(xo)
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| F'(xo) = |
Lim |
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≤ 0 |
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x → xo |
x - xo
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F(x) = 1/(x2 + 1) Se observa que para x є (- ∞, 0] es creciente, es decir, al aumentar la x, aumenta F(x). Su derivada es positiva en ese intervalo.
Para x є (0 , + ∞], es decreciente, al aumentar la x disminuye F(x). Su derivada es negativa.
Su derivada es: F ' (x) = - 2·x/(x2 +1)2 que como puede observar es positiva para x < 0 y negativa para x > 0.
Máximos y Mínimos Relativos. Puntos Singulares.
Máximos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))
Mínimos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b).
Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).
Puntos de Inflexión de una función. Máximos y mínimos de la derivada. Concavidad.
Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la concavidad.
Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera derivada, para ello se deriva la primera derivada (segunda derivada) y se anula. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máx o un mín. En la gráfica, en x = 0 la función tiene un punto de inflexión y en el su derivada tiene un mínimo en (0,c).
Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. Un punto deinflexión es donde la función cambia de concavidad.
En F(x) = x4 - 4·x2 = x2·(x2 - 1) puede observarse que su derivada:
F'(x) = 4·x3 - 8·x = 4·x·(x2 - 2) presenta un máximo y un míninimo en x = ± √(2/3). Es aquí donde la función presenta puntos de inflexión.
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