1

 

 

Ejercicios con Fracciones Parciales

 

 

Veamos los siguientes casos:

CASO 1: Factores Lineales Distintos.

A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccion racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante a determinar.

Ejemplo:

luego nos queda la siguiente igualdad

o tambien lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A -2B

Haciendo un Sistema.

A + B = 0
2A - 2B = 1, las soluciones son :

Quedando de esta manera:

con lo cual

CASO 2: Factores Lineales Iguales.

A cada factor lineal, ax+b,que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

EJEMPLO:

Calculemos la siguente integral

Pero: Tendremos

Amplificando por

Las Soluciones son:

Nos queda:

CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.

A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar.

Ejemplo:

Calcular:

Con lo que se obtiene

de donde

luego los valores a encontrar son.

A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0

 

CASO 4: Factores cuadráticos Iguales

A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

siendo los valores de A y B constantes reales.

Ejemplo:

Calcular la siguente integral

tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el minimo común denominador tenemos

Donde los valores de las constantes son

A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1

De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

 

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ejercicios con Sustitución trigonométrica

 Sustitución Trigonométrica

Este nombre se refiere a que mediante el remplazo adecuado por una función trigonométrica se racionalizan integrandos que contengan o múltiplos de estos.

1)

Se racionaliza escogiendo con lo cual
También serviría escoger la idea es poder aplicar una identidad trigonométrica para racionalizar
Ejemplo 1:
Si

Utilizando la identidad sen2 y el triángulo
Note que al construir el triángulo, el cateto que falta por calcular tiene que ser la expresión que está en el integrando, es decir con ( en este caso.
Por otra parte la sustitución por también racionaliza con lo cual
Ejemplo 2:
 

2)

Para racionalizar se utiliza

o

puesto que ambas permiten el uso de las identidades 1+tan o 1+cot
Por ejemplo para
Así

Utilizando el triángulo

3)

Este radical se racionaliza mediante la escogengia de

Ejemplo 3:

Si al remplazar en la integral se obtiene

 regresar a temario